Блоги → Перегляд

Правило транзитивності проти нетранзитивності вибору

Четвер, 14:25, 12.03.20

Рейтинг
2 0
Переглядів
4150

0
0

У відомій грі «камінь-ножиці-папір» обидва грають повинні одночасно, за рахунком «раз, два, три», показати або стиснений кулак ( «камінь»), або кулак з відстовбурченими вказівним і середнім пальцями ( «ножиці»), або долоню з усіма розчепіреними пальцями ( «папір»). Гравець, який показав камінь, виграє у гравця, який показав ножиці ( «камінь тупить ножиці»). Гравець, який показав ножиці, виграє у гравця, який показав папір ( «ножиці ріжуть папір»). Але гравець, який показав папір, виграє у гравця, який показав камінь (як пояснюється, камінь можна загорнути в папір, і це загортання, закриття розглядається як позбавлення «боєздатності»). Отже, камінь перемагає ножиці, ножиці - папір, а папір - камінь. Не можна однозначно сказати, що «переможна», - відповідь залежить від того, з чим доведеться зіткнутися.

 

 

Аналогічний принцип взаємодії описаний в казках: наприклад, кішка лякає мишку і командує нею, собака лякає кішку і командує нею і т. Д., Але самий останній і, здавалося б, найсильніший і найвпливовіший учасник цієї піраміди боїться мишки, тобто найслабшої учасника.

Ієрархія подібних систем не шикуються в «переможну» піраміду із зазначенням першого, другого і останнього місця, а утворює коло. Результат конкретного потовк-нення в такій системі визначається не місцем учасника в лінійному упорядкованому рейтингу (його тут взагалі неможливо вибудувати), а тільки взаємодією з конкретним суперником.

 

Виникає питання: чи варті за всіма цими ситуаціями реальні об'єктивні закономірності конфліктних та інших взаємодій або ж це всього лише прояв властивої фольклору (ігор, казок) тенденції до обігравання парадоксального і свідомо неможливого? Відповідь така: за останні десятиліття в самих різних наукових областях накопичився цілий масив яскравих доказів того, що взаємодії за принципом «камінь - ножиці - папір» - це досить поширена закономірність взаємодії скільки-небудь складних систем.

Для такого типу відносин між системами використовується термін «нетранзитивність», або «неперехідні» (на відміну від транзитивних відносин, прикладом яких служить математичне відношення порядку: якщо a> b і b> c, то a> c). При нетранзитивність відносинах перевага системи А над В, а В над С не переходить, не поширюється і на пару А-C: система А не перевищує систему C або навіть поступається їй.

«Камінь - ножиці - папір» в біології

Реальні відносини «бійцівської» сили на кшталт «камінь-ножиці-папір» були в безлічі виявлені на різних рівнях в біології - від міжвидової конкуренції (наприклад, вид мікроорганізмів A витісняє B, B витісняє C, C витісняє A) до внутрішньогрупових стратегій конкуренції самців за самок і відносин домінування всередині групи тварин.

Самки мух дрозофіл можуть спаровуватися з декількома самцями, при цьому в організмі самки починається конкуренція (взаімоподавленіе) сперми кількох самців. Ця конкуренція нерідко розгортається за принципом «камінь-ножиці-папір»: сперма самця A пригнічує сперму самця B, сперма самця B пригнічує сперму самця C, а сперма самця C пригнічує сперму самця A.

Якщо звернутися до більш високого рівня конкуренції - конкуренції поведінкових стратегій тварин, то в біологічних дослідженнях було виявлено, що у деяких видів ящірок (і не тільки у ящірок) самці-агресори, що вторгаються на чужі території, в боротьбі за відтворення частіше перемагають самців, які використовують стратегію оборони, але програють у цій боротьбі «тіхушніков», мімікрують під самок. А «тіхушніков» в свою чергу успішно ідентифікує обороняється тип. (Забавна характеристика «тіхушнік» запропонована біологом і науковим журналістом Наталією Резник.)

 

У тварин, провідних груповий спосіб життя (в зграях, стадах та ін.), Виявлено існування таких відносин домінування, коли особина A домінує над особиною B, B над C, а C над A. (В сімейних відносинах людей це теж нерідко спостерігається. )

У біологічних експериментах виявлено дивна на перший погляд особливість переваг деяких квітів у бджіл. При можливості вибору між двома знаходяться поруч квітками А і В бджола вибирає квітка А (A для неї краще В), при виборі між В і С за краще В (B краще C), але при виборі між A і C воліє С (C краще A ). Можливе раціональне пояснення цієї «нелогічності» вибору полягає в тому, що деякі рослини пригнічують розвиток рослини іншого виду, і якщо бджола «знає» це на інстінк-тивно рівні або сприймає своїми рецепторами, то вона може уникати квітів, які стали в ході цієї боротьби неприємними, небезпечними (або, навпаки, прагнути до квітів, який став особливо смачними), що і призводить до таких перевагам. Ця «нетранзитивність привабливість» знаходяться поруч квітів означає, що їх опиляемость теж нетранзитивність: в парі A-B квітка A запилюється частіше, ніж B; в парі B-C квітка B запилюється частіше, ніж C; але в парі А-C частіше буде запилювати квітка C, ніж A.

Вивчення нетранзитивність переваг у тварин - окреме дослідницький напрямок. В університеті Брістоля працює наукова група, що вивчає прийняття рішень тваринами, Modelling Animal Decisions (абревіатура MAD читається по-англійськи і як «сума-який зійшов»). У роботах її співробітників доводиться, що вибір тваринами тих чи інших об'єктів за принципом «камінь-ножиці-папір» часто цілком раціональний, хоча і виглядає на перший погляд порушенням законів логіки.

Короткий огляд явищ нетранзитивність в біології, даний вище, далеко не повний. На даний момент серії біологічних статей зі словами «камінь-ножиці-папір» в заголовках опубліковані в таких журналах світового рівня, як «Science» і «Nature», і в багатьох інших. У цих публікаціях обґрунтовується думка, що даний принцип є необхідною умовою підтримки біорізноманіття. У них також даються рекомендації філософського рівня: «Не знищуй повністю свого супротивника - можливо, він годується кимось, хто після його загибелі щільно займеться тобою».

Технічні системи

У шоу «Битви роботів», популярному у багатьох любителів техніки і видовищ, на арені б'ються один з одним дистанційно керовані механізми, що нагадують бульдозери, кувалди на колесах, саморушні дискові пилки і т. П. Сутичка триває до виходу механізму з ладу. За багато років проведення цих змагань в них виявилося явище, аналогічне нетранзитивність конкурентним відносинам в біології. Його назвали «рободарвінізмом». Деякі типи пристроїв в цьому середовищі (умовно назвемо їх, наприклад, «швидкі бульдозери») частіше перемагають в сутичках з пристроями іншого типу (наприклад, з «кувалдами», які ледве встигають замахнутися в потрібному напрямку, як їх уже з нальоту викидають за межі арени). Але при цьому «швидкі бульдозери» програють пристроїв третього типу, у яких «кувалди» в основному виграють.

 

Багато що тут залежить від особливостей конкретного пристрою і мистецтва гравця з управління їм (це ж не сутичка самостійних пристроїв, а сутичка людей за допомогою дистанційно керованого механізму; тут потужно працює і людський фактор - досвід, інтуїція, швидкість реакції, емоції і т. Д.) . Тому власне «рободарвінізм» - це статистична закономірність, а не суворий закон. Але в її основі лежить об'єктивне співвідношення властивостей «бойових одиниць» (використовуваного озброєння, захисту, маневреності та ін.), І вона досить виразна, що дозволило ввести для неї спеціальну назву.

У боротьбі комп'ютерних програм - учасниць змагань з тих чи інших інтелектуальних ігор нерідко спостерігається аналогічна ситуація: програма А може значимо частіше вигравати у програми В, та - у С, а програма С, начебто найслабша в цій трійці, може значимо частіше вигравати у А. Якби мова йшла про людей-спортсменів (а в спорті такі ситуації теж не рідкість), це могло б пояснюватися психологічними і фізіологічними причинами (наприклад, більшою спортивною злістю членів однієї команди по відношенню до іншої, бо`льшім фізичним томлінням і демотівірованностью когось із спортсменів і т. д.). Але мова йде про технічні системах на основі штучного інтелекту, які не знають втоми і емоцій (поки). Причина в тому, що немає ідеальних технічних (біологічних та ін.) Систем, скоєних з усіх точок зору. Кожна система має свої переваги і недоліки, сильні та слабкі сторони, які проявляються в різних умовах. Сильні і слабкі сторони учасників поєднуються таким чином, що виникає нетранзитивність цикл перемог і поразок.

Відволікаючись від теми конкуренції, битв і сутичок, наведу приклад забавною і парадоксальною технічної системи, в якій взаємодії здійснюються за принципом «камінь-ножиці-папір». У механіці показана можливість конструювання такої трійки шестерень (правда, не звичайних, а подвійних), що при їх попарних з'єднаннях перша шестерня обертається швидше другий, друга - швидше третій, а третя - швидше першої. (Йдеться саме про їх з'єднаннях по дві, а не всієї трійки в одне ціле.) Подивившись на ці шестерні, можна переконатися, що при попарних з'єднаннях шестерня A обертається швидше шестерні B, B - швидше C, C - швидше A.

Соціальні взаємодії людей: парадокс голосування

У соціальних науках з кінця XVIII століття відомий парадокс, названий по імені його відкривача - маркіза де Кондорсе. Цікаво, що в XIX столітті парадокс перевідкрив, аналізуючи вибори в Оксфордському університеті, математик Льюїс Керролл (відомий як автор «Аліси в Країні чудес») і написав про них кілька памфлетів. Парадокс голосування полягає в тому, що групові переваги виборців, накладаючись один на одного, можуть ставати нетранзитивність. Більшість виборців вважають, що кандидат А краще В, В краще С, а С краще А. Так яке ж думка більшості про те, хто краще? Тут немає однозначної відповіді - при тому, що індивідуальні переваги кожного члена групи логічні, послідовні і не закільцьовані в коло «A краще B, B краще C, C краще A».

Ось як виглядає найпростіша версія парадоксу:

Є три виборця: 1, 2, 3. Кожен з них на виборах ранжує трьох кандидатів (А, В, С) в такий спосіб в порядку переваги:

виборець 1 ранжирує кандидатів в порядку А, В, С;

виборець 2 ранжирує кандидатів в порядку В, С, А;

виборець 3 ранжує кандидатів в порядку С, А, В.

Можна бачити, що два виборця з трьох (1-й і 3-й), тобто 2/3 всіх голосуючих, вважають А кращим, ніж В (А поставлений ними перед В). Два виборця з трьох (1-й і 2-й), тобто теж 2/3 голосуючих, вважають У кращим, ніж С. І два виборця з трьох (2-й і 3-й), теж 2/3 голосуючих , вважають З більш привабливим, ніж А (!). При цьому за сумою набраних голосів усі кандидати рівні між собою. Індивідуальні транзитивні переваги парадоксальним чином трансформувалися в нетранзитивність групові. Цей парадокс був використаний майбутнім нобелівським лауреатом Кеннетом Ерроу для доказу його знаменитої теореми про неможливість досконалої виборчої системи. Парадокс проявляється в різних версіях в самих різних ситуаціях (економічних, життєвих і ін.), Коли люди приймають рішення про вибір між декількома можливостями, керуючись трьома і більше критеріями. Можна було б сказати: так виробіть один критерій, але це вимога часто впирається в обмеження, парадокси і неможливості.

Суто математичні гри?

Близько 40 років тому Мартін Гарднер, один з найвідоміших популяризаторів математики, привернув увагу до так званим нетранзитивність кісток (або кістках Ефрона, названим на ім'я їх винахідника, фахівця за статистикою зі Стенфордського університету). Числа на цих кістках (наприклад, на гральних кубиках) такі, що при попарних киданнях перший кубик частіше виграє у другого (частіше показує на верхній межі більше число, ніж другий), другий кубик частіше виграє у третього, а третій - у першого. Читачам, хто зацікавився, як підібрані числа і, ширше, як таке можливо в принципі (у людей, не знайомих з цими об'єктами, сама їх можливість не відразу укладається в голові), можна порекомендувати книги Гарднера «Хрестики-нулики» і «Подорож у часі ».

 

Нетранзитивність кістки розкривають цікаву і важливу колізію: хоча елементарне ставлення «бути більше», звичайно, транзитивно (якщо 5> 4 та 4> 3, то 5> 3), але складне, складене відношення «частіше показувати більше число» виявляється нетранзитивність.

Нетранзитивність кістки придбали певну популярність серед інтелектуалів. Як пише британський письменник Саймон Сінгх, один з найуспішніших інвесторів у світі Уоррен Баффет - «великий шанувальник нетранзитивність гральних кісток і часто пропонує Зіграй з ним партію. Він без всяких пояснень вручає супернику три нетранзитивність кістки і просить першим зробити вибір. Супернику здається, ніби це ставить його в більш вигідне становище, оскільки у нього є шанс вибрати «кращу» кістку. Зрозуміло, найкращою кістки просто не існує, і Баффет свідомо поступається перший хід, щоб мати можливість вибрати кістка, сильнішу в порівнянні з тією, на яку вкаже суперник. Коли Уоррен Баффет вирішив провернути цей трюк з Біллом Гейтсом, засновник Microsoft відразу ж запідозрив недобре. Він досить довго вивчав кістки, а потім ввічливо запропонував Баффету зробити вибір першим » * .

Нетранзитивність відносини «частіше опинятися більше», ймовірно, може мати в ряді випадків значущі економічні наслідки (навіть якщо не брати ситуації шахрайства, заснованого на чужому незнанні нетранзитивність).

За останні десятиліття опубліковано багато статей в наукових і науково-популярних журналах, де показані цікаві властивості і закономірності, пов'язані з нетранзитивність кістками. Наприклад, було доведено, що ланцюжки, що реалізують принцип «камінь-ножиці-папір», можна будувати необмеженої довжини, причому за участю не тільки кубиків, а й багатогранників з довільним числом граней, рулеток і т. Д. Розроблено і алгоритми генерації чисел для них.

Існують також інші нетранзитивність гри, засновані на неочевидних математичних закономірностях, - наприклад, гра Пенні з підкиданням монет, якій присвячений гумористичне оповідання С. Мельникова «Стрибок через козла» (див. «Наука і життя» № 5, 1997 г.).

Зауважимо, що математичні моделі нетранзитивність, втілені в цих, здавалося б, суто настільних іграх, можуть мати і чисто фізичні і технологічні слідства. Так, твердість оцінюється за здатністю речовин або матеріалів дряпати один одного. При цьому добре відомо, що твердість транзитивна: якщо матеріал А твердіше матеріалу B (дряпає його), а B твердіше C, то A буде твердіше C (подряпає його, але не навпаки). Алмазом можна подряпати скло, склом - графіт, і вже з цього випливає, що графіт буде подряпаний алмазом, а не навпаки. Але уявімо, що у нас є три композиційних матеріалу, що включають в себе по три компонента різної твердості. Математична модель нетранзитивність кісток дозволяє припустити існування і таких випадків, коли при контакті (терті, вдавливании) композиційних матеріалів A і B компоненти матеріалу A частіше виявляються твердіше, ніж компоненти В; компоненти матеріалу B частіше виявляються твердіше, ніж компоненти C; компоненти матеріалу C частіше виявляються твердіше, ніж компоненти A. Тоді об'єкти з цих матеріалів будуть стирати, руйнувати один одного «нетранзитивно» (A руйнує B більше, ніж B руйнує A; B руйнує C більше, ніж C-B; але З руйнує A більше, ніж A-C) - на відміну від гомогенних матеріалів, які в даному відношенні поводяться простіше. Ці тонкі ефекти, ймовірно, можуть виявитися важливими в якихось ситуаціях.

Нові ігри на основі вже відомих: шахові композиції?

Близько за силою шахісти можуть систематично вигравати один у одного за схемою «А переміг В, В переміг С, С переміг А», і більш того - «... навіть А. Альохін в міжнародних шахових змаганнях 1930-х років постійно програвав Л. Асталош, шахісту практично невідомому і нічим іншим не прославляли » ** . Це факти досить відомі - настільки, що для більш точної порівняльної оцінки сили суперників (людей-гравців, ігрових комп'ютерних програм) використовуються спеціальні процедури і алгоритми, що враховують нетранзитивність.

 

Але ось питання, яке раніше не ставилося. Чи можуть не гравці, а окремі шахові позиції бути в нетранзитивність відносинах перевагу по відношенню один до одного за принципом «камінь-ножиці-папір»? А саме: чи може бути так, що в разі можливості вибору гри за білих або ж за чорних, подивившись на дошку, де стоять білі в розташуванні A і чорні в розташуванні B, треба вибрати гру за білих (гру за A); подивившись на дошку, де стоять чорні в розташуванні В і білі в розташуванні С, треба вибрати гру за чорних (гру за B); на дошку, де стоять білі в розташуванні C і чорні в розташуванні D, треба вибрати гру за білих (гру за C); а подивившись на дошку, де стоять чорні в розташуванні D і білі в розташуванні A, треба вибрати гру за чорних (гру за D)?

Восени минулого року я поставив це питання по електронній пошті Євгену Яковичу гику, автору багатьох популярних книг про шахи та інших інтелектуальних іграх і про пов'язаних з ними математичних проблемах, ведучому постійної шахової рубрики в журналі «Наука і життя». Хоча раніше ми не були знайомі (точніше, знайомство було одностороннім - я читав його статті), він з готовністю вступив в діалог і, уточнивши деталі, відповів так: «Мені здається, що це завдання вирішується без праці. Наприклад, в пішакове ендшпілі у С (білі) пішаком більше, ніж в D у чорних. У В (чорні) пішаком більше, ніж в С (у білих). У А (білі) пішаком більше, ніж в В (у чорних). Таким чином, в ендшпілі А виграє у В, В у С, С у D. Однак взаємне розташування пішаків в А і D таке, що пішак чорних при своєму ході може з'їсти білу і пройти в ферзі з перемогою. Значить, D виграє у А. Звичайно, потрібно чітке оформлення задуму ».

Цей задум, запропонований Е. Я. Гіком у відповідь на моє запитання про «нетранзитивність» позиціях, я оформив - вийшло. Але як саме, розкривати не буду, оскільки комусь із читачів, можливо, стане цікаво пройти шлях вирішення самому. Може бути, один з кращих способів віддати данину пам'яті Євгену Яковичу гику - розвинути його шахову ідею.

При цьому, щоб показати, що нетранзитивність відносини перевагу в шахових позиціях дійсно можливі, наведу такий приклад. Я сконструював його в демонстраційних цілях (як матеріал для завдання він нарочито простий, навіть примітивний - наприклад, мат в одній з комбінацій може ставитися одним очевидним ходом білих; моя мета - тільки показ самої можливості нетранзитивність відносин між шаховими позиціями).

Візьмемо два розташування білих і два розташування чорних (рис. 1).

Перевіримо попарні накладення цих позицій на одну дошку, щоб визначити перевагу вибору гри за ту або за іншу сторону (білі починають першій-ліпшій нагоді) (рис. 2).

 

Можна побачити, що при чомусь виникла можливості вибору одні позиції найкращим за всі інші.

Після того як можливість таких нетранзитивність відносин в шахових позиціях показана, можна ставити «нетранзитивність» завдання різного типу і різної складності, а потім, при бажанні, змагатися в успішності і красі їх вирішення. Ось деякі можливості, які на даний момент бачаться мені (а у читачів можуть з'явитися і інші).

1. Експерименти по збільшенню довжини ланцюжка. Наведений приклад - це мінімально короткий ланцюжок, вона складена з чотирьох позицій. Чи можливі ланцюжки з 6, 8, 10 і більше позицій? Там повинні комбінуватися не два вихідних розташування білих і два розташування чорних, як в розглянутих прикладах, а більше - по три білих і три чорних, по п'ять білих і п'ять чорних і т. Д. Чим довше ланцюжок, тим важче її побудувати. Адже кожне конкретне розташування білих або чорних повинно мати свої вирішальні переваги, але і одночасно (!) - критичні уразливості по відношенню до сконструйованим розташуванням фігур іншого кольору - сусідам по ланцюжку. Тут потрібен майстерний баланс створення сполучень цих сильних і слабких сторін, що ведуть до виграшу у сусідки по ланцюжку з одного боку і до програшу у сусідки по ланцюжку з іншого. Чим довше ланцюжок, тим тонше гра балансів переваг і вразливостей.

З математичної точки зору цікаво, яка взагалі максимально можлива довжина ланцюжка таких конфігурацій. Для нетранзитивність кісток (рулеток тощо.) З необмеженим вибором чисел на них показано, що ланцюжок може бути довільної довжини. Але для шахових фігур на 64 полях ситуація явно інша - межа є. Питання, наскільки він близький або далекий. Є місце для рекордів по довжині.

2. Експерименти по мінімізації кількості і складу фігур в кожній ланці ланцюжка. Наприклад, перевірка того, чи може бути так, щоб в кожній ланці були тільки дві (три) фігури. При бажанні можна накласти обмеження на вибір складу цих фігур.

3. Експерименти по створенню «візерунків» - симетричних конфігурацій (з точністю до дзеркального відображення, повороту, паралельного перенесення). Тут можна не перейматися мінімізацією числа фігур і їх складу. Чим сіммет-річно, красивіше, цікавіше «візерунки», тим краще.

4. Пошук відповіді на питання, чи можливі «нетранзитивність» позиції в шашках та інших логічних іграх з розмічених ігровим полем. У яких іграх такі позиції можливі, а в яких ні?

Це лише деякі шляхи розвитку. Тема «камінь-ножиці-папір», як видається, дає хорошу можливість розвернутися експериментування і творчого мислення.

Висновок (від когнітивного психолога)

Я психолог, який вивчає мислення і можливості його розвитку. При тому що я з захопленням занурююся в усі представлені вище області, мене цікавить тут ще й важлива психологічна, людська проблема. Це те, як люди пізнають, розуміють, включають в свою діяльність вже наявні (наприклад, природні) і створюють нові складні системи (технічні, біологічні, соціальні). Це системи, в тому числі зі взаємодіями за принципом «камінь-ножиці-папір» - принципу цілком фундаментальному, як з'ясувалося в останні десятиліття, незважаючи на його ігрову формулювання.

Справа в тому, що є безліч психологічних досліджень, в яких вивчається, як людина з раннього дитинства освоює протилежний принцип - принцип транзитивності (якщо перше більше другого, друге більше третього, то перше більше третього: якщо 5> 4 та 4> 3, то 5> 3). Більш того, створюються майстерні тестові завдання-головоломки, що провокують тестованого людини зробити вибір за принципом «камінь-ножиці-папір» - помилковий вибір, оскільки ці завдання побудовані на такому матеріалі, де діє якраз правило транзитивності. І вищий бал за них отримує відповідно той, хто дав відповідь за цим правилом. Але майже немає психологічних досліджень того, як людина приймає рішення в складних «нетранзитивність» середовищах - там, де об'єктивно працює принцип «камінь-ножиці-папір» і де помилка - це якраз рішення по «шкільно» засвоєного правилом транзитивності.

Аналогічна ситуація з навчанням: є досить багато педагогічних розробок, що дозволяють навчити (наприклад, дитини) «шкільного» правилом транзитивності. Але при цьому вкрай мало навчальних матеріалів (навіть в математичних школах є скоріше острівці таких матеріалів), які допомагають людині зрозуміти нетранзитивність і, ширше, співвідношення транзитивності і нетранзитивність в різних областях і ситуаціях. Як можна розібратися і зрозуміти: ми, ставлячи і вирішуючи якусь проблему, перебуваємо в одній з «транзитивних» середовищ або ж в якийсь із «нетранзитивність»? Як мислити і діяти далі відповідно до цього розумінням? Таких досліджень немає. Вони попереду.

 

Коментарі до статті

* Сингх С. Сімпсони і їх математичні секрети. - М .: Манн, Іванов і Фербер, 2016, с. 17.

 

** Мельников Б., Радіонов А. Програмування недетермінірованних ігор // Гордон А. Г. Діалоги. - М .: Прийменник, 2005, с. 93-112.

Коментарі

І що це доє для вирішення суспільних проблем?
Краще почитай закони логіки, там є закон суперчності - це головний закон, який викриває кожну брехню софістів
Politiko – перша українська політична соціальна мережа, яка об'єднує політиків, експертів, журналістів, лідерів партій та виборців України в рамках одного співтовариства.

Записи по темі